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假币问题：有n枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的重量较轻。现只有一个天平，要求

免费题库2022-08-02  53
问题 假币问题：有n枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的重量较轻。现只有一个天平，要求用尽量少的比较次数找出这枚假币。【分析问题】将n枚硬币分成相等的两部分：（1）当n为偶数时，将前后两部分，即1…n/2和n/2+1…n，放在天平的两端，较轻的一端里有假币，继续在较轻的这部分硬币中用同样的方法找出假币；（2）当n为奇数时，将前后两部分，即1..(n-1)/2和(n+1)/2+1…n，放在天平的两端，较轻的一端里有假币，继续在较轻的这部分硬币中用同样的方法找出假币；若两端重量相等，则中间的硬币，即第(n+1)/2枚硬币是假币。【C代码】下面是算法的C语言实现，其中：coins[]：硬币数组first，last：当前考虑的硬币数组中的第一个和最后一个下标#include＜stdio.h>int getCounterfeitCoin(int coins[]，int first，int last){int firstSum=0，lastSum=0;intì;If(first==last-1){/*只剩两枚硬币*/if(coins[first]＜coins[last])return first;return last;}if((last-first+1)%2==0){/*偶数枚硬币*/for(i=first;i＜(1);i++){firstSum+=coins;}for(i=first+(last-first)/2+1;i＜last+1;i++){lastSum+=coins;}if(2){return getCounterfeitCoin(coins,first,first+(last-first)/2;)}else{return getCounterfeitCoin(coins,first+(last-first)/2+1,last;)}}else{/*奇数枚硬币*/for(i=first;i＜first+(last-first)/2;i++){firstSum+=coins;}for(i=first+(last-first)/2+1;i＜last+1;i++){lastSum+=coins;}if(firstSum＜lastSum){return getCounterfeitCoin(coins,first,first+(last-first)/2-1);}else if(firstSum>lastSum){return getCounterfeitCoin(coins,first+(last-first)/2+1,last);}else{return(3)}}}【问题一】（6分）根据题干说明，填充C代码中的空（1）-（3）。【问题二】（6分）根据题干说明和C代码，算法采用了（　　）设计策略。函数getCounterfeitCoin的时间复杂度为（　　）（用O表示）。【问题三】（3分）若输入的硬币数为30，则最少的比较次数为（　　），最多的比较次数为（　　）。
选项
答案
解析 【问题1】
（1）first+(last-first)/2+1或(first+last)/2+1
（2）firstSum＜lastSum
（3）first+(last-first)/2或(first+last)/2
【问题2】
（4）分治法
（5）O(lgn)
【问题3】
（6）2（7）4
【问题1】
对于本题代码填空，可以根据算法过程推导。
第一空，缺少循环的停止条件，根据题干描述，在左侧比较应该是到(last+first)/2为止，由于这里是小于符号，所以第一空填写(last+first)/2+1，或first+(last-first)/2+1，或其他等价形式。
第二空，缺少判断条件，进入较小部分继续比较，因此本空应该填写firstSum＜lastSum。
第三空，缺少返回值，此时即不在左侧，也不在右侧，则当前位置即为目标位置，返回当前位置first+(last-first)/2。
【问题2】
本题采用的是分治法策略。整个算法过程类似于树形结构，所以时间复杂度为O(lgn)。
【问题3】
若输入30个硬币，找假硬币的比较过程为：
第1次：15比15，此时能发现假币在15个的范围内。
第2次：7比7，此时，如果天平两端重量相同，则中间的硬币为假币，此时可找到假币，这是最理想的状态。
第3次：3比3，此时若平衡，则能找出假币，不平衡，则能确定假币为3个中的1个。
第4次：1比1，到这一步无论是否平衡都能找出假币，此时为最多比较次数。
因此最少比较2次，最多比较4次。
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