2. 从业资格
  3. 在一块电路板的上下两端分别有n个接线柱。根据电路设计，用(i,π(i))表示将上

在一块电路板的上下两端分别有n个接线柱。根据电路设计，用(i,π(i))表示将上

题库2022-08-02  34
问题 在一块电路板的上下两端分别有n个接线柱。根据电路设计，用(i,π(i))表示将上端接线柱i与下端接线柱π(i)相连，称其为该电路板上的第i条连线。如图4-1所示的π(i)排列为{8,7,4,2,5,1,9,3,10,6}。对于任何1≤i＜j≤n，第i条连线和第j条连线相交的充要条件是π(i)>π(j)。图4-1电路布线示意在制作电路板时，要求将这n条连线分布到若干绝缘层上，在同一层上的连线不相交。现在要确定将哪些连线安排在一层上，使得该层上有尽可能多的连线，即确定连线集Nets={(i,π(i))，1≤i≤n}的最大不相交子集。【分析问题】记N(i,j)={t|(t,π(t))∈Nets,t≤i,π(t)≤j}。N(i,j)的最大不相交子集为MNS(i,j)，size(i,j)=|MNS(i,j)|。经分析，该问题具有最优子结构性质。对规模为n的电路布线问题，可以构造如下递归式：【C代码】下面是算法的C语言实现。（1）变量说明size[j]：上下端分别有i个和j个接线柱的电路板的第一层最大不相交连接数pi：π(i)，下标从1开始（2）C程序#include"stdlib.h"#include＜stdio.h>#define?N?10/*问题规模*/int m=0；/*记录最大连接集合中的接线柱*/void maxNum(int pi[],int size[N+1][N+1],int n){/*求最大不相交连接数*/int i,j;for(j=0;j＜pi[1];j++)size[1][j]=0;/*当j＜π(1)时*/for(j=pi[1];j＜=n;j++)（1）;/*当j>=π(1)时*/for(i=2;i＜n;i++){for(j=0;j＜pi;j++)（2）;/*当j＜pi时*/for(j=pi;j＜=n；j++){/*当j>=c时,考虑两种情况*/size[j]=size[i-1][j]>=size[i-1][pi-1]+1?size[i-1][j]:size[i-1][pi-1]+1;}}/*最大连接数*/size[n][n]=size[n-1][n]>=size[n-1][pi[n]-1]+1?size[n-1][n]:size[n-1][pi[n]-1]+1;}/*构造最大不相交连接集合，net表示最大不相交子集中第i条连线的上端接线柱的序号*/void constructSet（int pi[],int size[N+1][N+1],int n,int net[n]）{int i,j=n;m=0；for(i=n;i>1;i--){/*从后往前*/if(size[j]!=size[i-1][j]){/*(i,pi)是最大不相交子集的一条连线*/（3）;/*将i记录到数组net中，连接线数自增1*/j=pi-1;/*更新扩展连线柱区间*/}}if(j>=pi[1])net[m++]=1;/*当i=1时*/}【问题1】（6分）根据以上说明和C代码，填充C代码中的空（1）～（3）。【问题2】（6分）据题干说明和以上C代码，算法采用了（4）算法设计策略。函数maxNum和constructSet的时间复杂度分别为（5）和（6）（用O表示）。【问题3】（3分）若连接排列为{8,7,4,2,5,1,9,3,10,6}，即如图4-1所示，则最大不相交连接数为（7），包含的连线为（8）（用(i,π(i))的形式给出）。
选项
答案
解析 【问题1】（1）size[1][j]=1（2）size[j]=size[i-1][j]（3）net[m++]=i;【问题2】（4）动态规划算法（5）O(n2)（6）O(n)【问题3】（7）4（8）（3，π（3），（5，π（5）），（7，π（7）），（9，π（9））或：（3，4），（5，5），（7，9），（9，10）本题是算法设计题，涉及的算法策略是动态规划法。【问题1】本题要求补充代码，主要参照代码注释、题干的算法思路和递归式即可得到。对于第（1）空，有注释“当j>=π(1)时”，此时属于i=1的其他情况，找到递归式的条件，所以（1）空填写size[1][j]=1；对于第（2）空，有注释“当j＜π(i)时”，此时属于i>1时，j＜π(i)的条件，找到递归式对应条件，所以（2）空填写size[j]=size[i-1][j]；对于第（3）空，有注释“将i记录到数组net中，连接线数自增1”，将i记录到net数组，即net[]=i，其中net位置应该时连接线数m，此时为m++，因此（3）空填写net[m++]=i。本空也可以根据后面的代码推导。【问题2】1、根据题干描述“经分析，该问题具有最优子结构性质。对规模为n的电路布线问题，可以构造如下递归式”，根据最优子结构可判断本题使用的是动态规划法的算法策略。2、根据代码，可以看到maxNum函数有两层嵌套循环，因此时间复杂度为O(n2)。3、根据代码，可以看到constructSet函数只有一层循环结构，因此事件复杂度为O(n)。【问题3】这个是动态规划问题，不相交的平行线。设a[j]为上端接线柱i与下端接线柱j前的最大不相交子集，则：若i与j不相连，则i与j前的最大不想交子集等于i与j-1前或i-1与j前的最大不相交子集的最大值，即a[j]=max(a[j-1],a[i-1][j])若i与j相连，则i与j前的最大不想交子集等于i-1与j-1前的最大不想交子集加1，即a[j]=a[i-1][j-1]+1题目的意思就是要求出，没有交叉的这种连线的数量达到最大的情况。此时，有4条这样的线不会交叉，所以是大不相交子集连接数为4。如果你能找到5条这样不交叉的线，则是5。就这个意思。由此可得，最大不相交连接数为4，包含的连接线为：（3，π（3），（5，π（5）），（7，π（7）），（9，π（9））
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