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  3. 对于一个n阶的对称矩阵A，将其下三角区域（含主对角线）的元素按行存储在一维数组S

对于一个n阶的对称矩阵A，将其下三角区域（含主对角线）的元素按行存储在一维数组S

题库2022-08-02  42
问题 对于一个n阶的对称矩阵A，将其下三角区域（含主对角线）的元素按行存储在一维数组S中，设元素A[j]存放在S[k]中，且S[1]=A[0][0]，则k与i，j（i≤j）的对应关系是（）。A.k=i（i+1）/2+j-1B.k=j（j+1）/2+i+1C.k=i（i+1）/2+j+1D.k=j（j+1）/2+i-1
选项 A.k=i（i+1）/2+j-1
B.k=j（j+1）/2+i+1
C.k=i（i+1）/2+j+1
D.k=j（j+1）/2+i-1
答案 B
解析 本题有隐含条件需要注意，虽然前半段描述的是我们存储的下三角部分元素，但是最后提问的是i＜=j情况下，元素下标与k的对应关系，此时已经指向的是其对称元素位置了。
【方法1】可用代入法解决问题。
将S[1]=A[0][0]实例，对应上三角元素A[0][0]，代入选项验证可得，只有B和C选项符合要求；
根据按行存储的顺序来看，下一个元素应该是A[1][0]，对应上三角元素A[0][1]，对应的一维数组位置为S[2]，代入BC选项进行验证，选项结果都为2，无法区分；
根据按行存储的顺序来看，接下来元素应该是A[1][1]，对应上三角元素A[1][1]，对应的一维数组位置为S[3]，代入BC选项进行验证，选项结果都为3，无法区分；
根据按行存储的顺序来看，接下来元素应该是A[2][0]，对应上三角元素A[0][2]，对应的一维数组位置为S[4]，代入BC选项进行验证，选项C结果为3不符合要求，选项B结果为4是正确的选项；
所以本题选择B选项。
【方法2】也可以根据规律分析。对于对称矩阵A[][]结构如下：
A[0][0]A[0][1]A[0][2]...A[0][n-1]A[0][n]
A[1][0]A[1][1]A[1][2]...A[1][n-1]A[1][n]
A[2][0]A[2][1]A[2][2]...A[2][n-1]A[2][n]
...
A[n-1][0]A[n-1][1]A[n-1][2]...A[n-1][n-1]A[n-1][n]
A[n][0]A[n][1]A[n][2]...A[n][n-1]A[n][n]
S[1]对应A[0][0]，对于下三角元素A[j](i>=J)，按行存储时，先处理前i-1行元素，此时每行对应元素分别为1、2、3、...、i-1、i个，求和，结果为（1+i）*i/2。接着处理第i行数据，本行列下标分别为0、1、2、...、j-1、j，共有j+1个元素。所以A[j]元素从S[1]开始，对应k=i（i+1）/2+j+1下标。这是下三角位置的分析过程。
再根据本题问题，i＜=j的元素，此时是对称的上三角区域元素，对称关系为A[j]=A[j]，将上面的表达式i、j位置互换即可，结果为k=j（j+1）/2+i+1。答案选择B选项。
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