设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X＝i}＝1/3（i＝－1，0，1）

练习题库2022-08-02 41

问题设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X＝i}＝1/3（i＝－1，0，1），Y的概率密度为

记Z＝X＋Y。（Ⅰ）求P{Z≤1/2|X＝0}；（Ⅱ）求Z的概率密度fZ（z）。

选项

答案

解析（Ⅰ）

（Ⅱ）设Z的分布函数为F（z），则其值域非零时z的区间为[－1，2]。当z＜－1时，FZ（z）＝0；当z＞2时，FZ（z）＝1；当－1≤z＜2时，FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{X＋Y≤z}＝P{X＋Y≤z︱X＝－1}P{X＝－1}＋P{X＋Y≤z︱X＝0}P{X＝0}＋P{X＋Y≤z︱X＝1}P{X＝1}＝[P{Y≤z＋1}＋P{Y≤z}＋P{Y≤z－1}]/3＝[FY（z＋1）＋FY（z）＋FY（z－1）]/3。故Z的分布密度函数为