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设奇函数f（x）在[－1，1]上具有二阶导数，且f（1）＝1，证明： （Ⅰ）存

题库2022-08-02  65
问题 设奇函数f（x）在[－1，1]上具有二阶导数，且f（1）＝1，证明：（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f′（ξ）＝1；（Ⅱ）存在η∈（－1，1），使得f″（η）＋f′（η）＝1。
选项
答案
解析 证明：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），于是f（0）＝0。
令φ（x）＝f（x）－x，运用罗尔中值定理，∵φ（0）＝0，φ（1）＝0，φ（0）＝φ（1），∴?ξ∈（0，1）使φ′（ξ）＝0。而φ′（x）＝f′（x）－1，∴f′（ξ）＝1。
（Ⅱ）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），?－f′（x）＝－f′（x），即f′（x）为偶函数。
又∵f′（x）为偶函数，∴f′（－ξ）＝1。
令h（x）＝ex[f′（x）－1]。∵h（－ξ）＝h（ξ）＝0，∴?η∈（－ξ，ξ）?（－1，1），使h′（η）＝0。而h′（x）＝ex[f′（x）－1]＋exf″（x）＝ex[f′（x）＋f″（x）－1]，且ex≠0。∴f″（η）＋f′（η）＝1。
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