定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f（x）

考试题库2022-08-02 12

问题定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界。已知函数f（x）=l+x+ax2。（1）当a=-1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围。

选项

答案

解析（1）当a=-1时，

，对称轴为

所以f（x）在z∈（-∞，0）上单调递增，所以

故函数f（x）在（-∞，0）上的值域为（-∞，1）。所以|f（x）|∈[0，+∞），所以不存在常数M>0，使|f（x）|≤M都成立，故函数f（x）在（一∞，0）上不是有界函数。（2）若函数f（x）在[1，4]上是以3为上界的有界函数，则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即-3≤f（x）≤3，所以-3≤ax2+x+1≤3，所以