设，在x=0连续，且对任何x,y∈R有f(x﹢y)＝f(x)﹢f（y）证明：

资格题库2022-08-02 9

问题设，在x=0连续，且对任何x,y∈R有f(x﹢y)＝f(x)﹢f（y）证明：(1)f在R上连续；(2)f(x)＝xf(1)。

选项

答案

解析 (1)因f(0) ＝f(0＋0)＝f(0) ＋f(0) ＝2f(0)，所以f(0)=0。又对任意算∈(一∞，+∞)有△y=f(x＋△x) －f(x) ＝f(x) ＋f(△x) －f(x) ＝f(△x)

(2)先证对任意有理数r，都有以rx)=rf(x)。事实上，令y=x，得以2x)=2f(x)，由数学归纳法

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中学数学学科知识与教学能力

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