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  3. 设β1，β2是线性方程组Ax=b的两个不同的解，a1、a2是导出组Ax=0的基础

设β1，β2是线性方程组Ax=b的两个不同的解，a1、a2是导出组Ax=0的基础

admin2022-08-02  56
问题 设β1，β2是线性方程组Ax=b的两个不同的解，a1、a2是导出组Ax=0的基础解系，k1、k2是任意常数，则Ax=b的通解是：
选项
答案 C
解析 提示 非齐次方程组的通解y=y(齐次方程的通解)+y *(非齐次方程的一个特解)，可验证(1/2)(β1+β2)是Ax=b的一个特解。
因为β1,β2是线性方程组Ax=6的两个不同的解
A[(1/2)(β1+β2)]=(1/2)Aβ1+(1/2)Aβ2
又已知a1，a2为导出组Ax=0的基础解系，可知a1，a2是Ax=0解，同样可验证a1-a2也是Ax=0的解，A(a1-a2)=Aa1-Aa2=0。
还可验证a1,a1-a2线性无关
故齐次方程组的通解y=k1a1+k2(a1-a2)
y*=(1/2)(β1+β2)=是Ax=b的一特解
所以Ax=b的通解为y=(1/2)(β1+β2)+k1a1+k2(a1-a2)
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