设三阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=0,λ3=1,则下列结论不正确的是().A

免费题库2022-08-02  45

问题 设三阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=0,λ3=1,则下列结论不正确的是().A.矩阵A不可逆B.矩阵A的迹为零C.特征值-1,1对应的特征向量正交D.方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量

选项 A.矩阵A不可逆
B.矩阵A的迹为零
C.特征值-1,1对应的特征向量正交
D.方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量

答案 C

解析 由λ1=-1,λ2=0,λ3=1得|A|=0,则r(A)小于3,即A不可逆,(A)正确;又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0,所以(B)正确;因为A的三个特征值都为单值,所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等,即r(A)=2,从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量,(D)是正确的;(C)不对,因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交,一般矩阵不一定有此性质,所以选(C).
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