若一个多边形有且仅有两个内角为钝角,有至少两个外角为锐角,问该多边形最多有几条边

考试题库2022-08-02  47

问题 若一个多边形有且仅有两个内角为钝角,有至少两个外角为锐角,问该多边形最多有几条边?A.4B.5C.6D.7

选项 A.4
B.5
C.6
D.7

答案 B

解析 解法一:第一步,本题考查几何问题,属于几何特殊性质类,用代入排除法解题。
第二步,问最多,从最大开始代入。
D选项,如果是7边形,内角和为(7-2)×180°=900°,5个锐角和小于5×90°=450°,加上两个钝角(和小于2×180°=360°)无法达到900°,排除。
C选项,如果是6边形,内角和为(6-2)×180°=720°,4个锐角和小于4×90°=360°,加上两个钝角(和小于2×180°=360°)无法达到720°,排除。
B选项,如果是5边形,内角和为(5-2)×180°=540°,3个锐角和小于3×90°=270°,加上两个钝角(和小于2×180°=360°)可以达到540°,符合题意。
因此,选择B选项。
解法二:第一步,本题考查几何问题,属于几何特殊性质类。
第二步,设各角为A1,A2,……,An,后两个为钝角,其余为锐角。则所有内角加和有90°×2<A1+A2+……+An<(n-2)×90°+180°×2。而多边形内角和为(n-2)×180°,可得180°<(n-2)×180°<(n-2)×90°+360°,化简为2<2n-4<n+2。解得3<n<6。
第三步,n是正整数,只能取4、5,所以这个凸多边形最多是五边形。
因此,选择B选项。
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