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  3. “不等式”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准》（实验）要求学生能“通

“不等式”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准》（实验）要求学生能“通

题库2022-08-02  127
问题 “不等式”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准》（实验）要求学生能“通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系”。（1）请设计一道利用不等式知识解决的实际问题并求解；（20分）（要求：给出问题情境；抽象出数量关系；建立数学模型；写出解答过程、讨论和反思）（2）根据上面的问题隋境设计一道开放题或探索题。（10分）
选项
答案
解析 （1）问题情境：某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策。读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P=粮食单产×耕地面积÷总人口数，主要关系是：P实际≥P规划。建模：设耕地面积平均每年减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答。讨论与反思：本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率。其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解。本题的解法是建立不等式模型，要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练。此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题。此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式。在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少!它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1．0110≈1，算得结果为x≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗?于是进行调控，检查发现是错在1．0110的近似计算上。（2）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x），g（x）以及任意的x≥0，当甲公司投入x万元做宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元做宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。①试解释f（0）=10，g（0）=20的实际意义；司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费?
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