求过点(1,0,4),且平行于平面3x-4y+z-8=0,又与直线x+1=y-3

题库2022-08-02  35

问题 求过点(1,0,4),且平行于平面3x-4y+z-8=0,又与直线x+1=y-3=相交的直线的方程。

选项

答案

解析 (方法一)设所求直线为ι,由题意可知,与平面3x-4y+z-8=0平行的平面束方程为3x-4y+z+k=0,又直线ι(方法二)设过点(1,0,4)且与平面3x-4y+z-8=0平行的平面为π1,所求直线ι在π1内,根据平行平面的关系易得,π1的一般方程为3x-4y+z-7=0。直线。过点(-1,3,0),且一个方向向量为s=(1,1,2),又平面π1的一个法向量为n=(3,-4,1),因为sn≠0,所以直线与π1相交,所以直线ι与直线所确定的平面π2与π1相交,相交直线即为ι。平面π2过点(-1,3,0)和点(1,0,4),且与向量s=(1,1,2)平行,设π2上任意一点的坐标为(x,y,z),则向量u=(x+1,y-3,z)和向量v=(2,-3,4)都平行于平面π2,即向量s,u,v共面,即有(s,u,v)=
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