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  3. 求过点（1，0，4），且平行于平面3x-4y+z-8=0，又与直线x+1=y-3

求过点（1，0，4），且平行于平面3x-4y+z-8=0，又与直线x+1=y-3

题库2022-08-02  46
问题 求过点（1，0，4），且平行于平面3x-4y+z-8=0，又与直线x+1=y-3=相交的直线的方程。
选项
答案
解析 （方法一）设所求直线为ι，由题意可知，与平面3x-4y+z-8=0平行的平面束方程为3x-4y+z+k=0，又直线ι（方法二）设过点（1，0，4）且与平面3x-4y+z-8=0平行的平面为π1，所求直线ι在π1内，根据平行平面的关系易得，π1的一般方程为3x-4y+z-7=0。直线。过点（-1，3，0），且一个方向向量为s=（1，1，2），又平面π1的一个法向量为n=（3，-4，1），因为sn≠0，所以直线与π1相交，所以直线ι与直线所确定的平面π2与π1相交，相交直线即为ι。平面π2过点（-1，3，0）和点（1，0，4），且与向量s=（1，1，2）平行，设π2上任意一点的坐标为（x，y，z），则向量u=（x+1，y-3，z）和向量v=（2，-3，4）都平行于平面π2，即向量s，u，v共面，即有（s，u，v）=
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